【向量的叉乘公式是什么】在三维几何和线性代数中，向量的叉乘（Cross Product）是一种重要的运算方式，常用于计算两个向量之间的垂直向量，以及求解面积、体积等问题。叉乘的结果是一个与原向量都垂直的向量，其方向由右手定则决定。

一、叉乘的基本概念

设两个三维向量为：

$$

\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle,\quad \vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle

$$

它们的叉乘结果记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，是一个新的向量，其模长表示这两个向量所形成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在的平面。

二、叉乘的公式

向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的计算公式如下：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \left\langle a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right\rangle

$$

也可以通过行列式的方式进行计算：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后得到：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

三、叉乘的性质总结

四、应用举例

假设 $\vec{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$，$\vec{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle$，则：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

$$

即：$\vec{a} \times \vec{b} = \langle -3, 6, -3 \rangle$

五、小结

叉乘是向量运算中的重要工具，尤其在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用。掌握其公式和性质，有助于理解空间向量的关系，并解决实际问题。