【向量垂直公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题之一。向量垂直的判定可以通过向量的点积（内积）来进行。本文将对向量垂直的基本公式进行总结，并通过表格形式清晰展示相关知识点。

一、向量垂直的定义

若两个非零向量 a 和 b 的夹角为 90°，则称这两个向量垂直。在数学上，这种关系可以用向量的点积来判断。

二、向量垂直的公式

设向量 a = (a₁, a₂)，向量 b = (b₁, b₂)，则它们的点积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

$$

当且仅当：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0

$$

时，向量 a 与 b 垂直。

三、二维空间中的向量垂直公式总结

四、三维空间中的向量垂直公式

若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则点积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$

同样地，当且仅当该值为0时，两向量垂直。

五、常见应用

- 在解析几何中，用于判断直线或线段是否垂直。

- 在物理中，计算力的分量或判断运动方向是否垂直。

- 在计算机图形学中，用于判断物体表面法向量与光线方向的关系。

六、注意事项

- 零向量与任何向量都视为垂直，但通常不单独讨论这种情况。

- 向量垂直与向量长度无关，只与方向有关。

- 点积为0是判断向量垂直的充要条件。

总结

向量垂直的判断依赖于点积的结果，只要点积为0，即可确认两向量垂直。这一公式在数学、物理和工程领域具有广泛的应用价值。掌握并灵活运用该公式，有助于解决许多实际问题。

如需进一步了解向量的其他性质（如平行、夹角等），可继续查阅相关资料。