【向量叉乘公式】在三维几何和物理学中，向量叉乘（也称为矢量积或外积）是一种重要的运算方式，常用于计算两个向量之间的垂直方向、面积、力矩等。叉乘的结果是一个与原向量都垂直的向量，其方向由右手定则确定。

一、向量叉乘的基本概念

设两个向量为 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的叉乘记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，结果是一个新的向量，满足以下性质：

- 方向：垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所构成的平面；

- 大小：等于这两个向量所形成的平行四边形的面积；

- 符号：由右手螺旋法则决定。

二、向量叉乘的公式

向量叉乘的计算公式如下：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后可得：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以表示为：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、叉乘的性质总结

四、应用举例

1. 计算面积：若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是平行四边形的邻边，则面积为 $\vec{a} \times \vec{b}$。

2. 求法向量：在三维几何中，两个向量的叉乘可以得到该平面的法向量。

3. 物理应用：如力矩 $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$，表示作用点到旋转轴的位移与力的叉乘。

五、小结

向量叉乘是向量代数中的一个重要工具，广泛应用于数学、物理和工程领域。通过掌握其公式和性质，可以更高效地解决涉及空间关系的问题。理解叉乘的方向和大小有助于在实际问题中正确使用这一运算。