【向量乘积的公式】在向量代数中，向量乘积是两个向量之间进行运算的一种方式，主要包括点积（数量积）和叉积（向量积）两种形式。它们在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用。以下是对这两种向量乘积公式的总结。

一、点积（数量积）

点积是两个向量之间的乘积，其结果是一个标量（即一个数值），用于表示两个向量之间的夹角关系或投影长度。

公式：

设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的点积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

也可以用模长和夹角表示：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b} \cos\theta

$$

其中，θ 是两个向量之间的夹角。

二、叉积（向量积）

叉积是两个三维向量之间的乘积，其结果是一个向量，该向量与原两个向量垂直，方向由右手定则决定。

公式：

设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

或者写成坐标形式：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

$$

叉积的模长等于两个向量所形成的平行四边形的面积：

$$

$$

三、对比总结

四、应用场景简述

- 点积：常用于计算力在某个方向上的分量、判断向量是否正交、求角度等。

- 叉积：多用于计算旋转、扭矩、磁场方向、三维几何中的法向量等。

通过理解点积与叉积的定义及应用，可以更深入地掌握向量在空间中的行为特征，为后续学习线性代数、物理学、计算机图形学等内容打下坚实基础。