【沿某方向的方向导数怎么求】在多元函数的微分学中，方向导数是一个重要的概念，它表示函数在某一特定方向上的变化率。理解并掌握如何计算方向导数，有助于我们更深入地分析函数在不同方向上的行为特征。

一、方向导数的定义

设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ P_0(x_0, y_0) $ 处可微，$ \vec{u} = (u_1, u_2) $ 是一个单位向量（即 $ u_1^2 + u_2^2 = 1 $），则函数 $ f $ 在点 $ P_0 $ 沿方向 $ \vec{u} $ 的方向导数为：

$$

D_{\vec{u}}f(x_0, y_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t u_1, y_0 + t u_2) - f(x_0, y_0)}{t}

$$

若 $ f $ 在该点可微，则方向导数还可以通过梯度与方向向量的点积来计算：

$$

D_{\vec{u}}f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \vec{u}

$$

二、求解步骤总结

三、举例说明

假设函数为 $ f(x, y) = x^2 + xy + y^2 $，点为 $ (1, 2) $，方向向量为 $ \vec{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $。

- 第一步：确定函数和点：$ f(x, y) = x^2 + xy + y^2 $，点 $ (1, 2) $

- 第二步：方向向量是单位向量 $ \vec{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $

- 第三步：计算梯度：

$$

f_x = 2x + y,\quad f_y = x + 2y

$$

在点 $ (1, 2) $ 处：

$$

f_x = 2(1) + 2 = 4,\quad f_y = 1 + 2(2) = 5

$$

所以 $ \nabla f = (4, 5) $

- 第四步：计算方向导数：

$$

D_{\vec{u}}f = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}

$$

- 第五步：解释结果：函数在该方向上具有正的变化率，且变化速度为 $ \frac{9}{\sqrt{2}} $

四、注意事项

- 方向导数依赖于方向向量的选择，不同的方向会导致不同的变化率。

- 若方向向量不是单位向量，需先将其单位化后再代入公式。

- 方向导数可以用于优化问题中，例如梯度方向是函数上升最快的方向。

五、总结

方向导数是衡量函数在某一方向上变化快慢的重要工具。其计算方法可以通过极限定义或梯度与方向向量的点积来实现。掌握这一方法，有助于我们在实际问题中分析函数的行为，如物理中的热传导、经济学中的最优路径等。