【虚数i的运算公式】在数学中，虚数单位 i 是一个重要的概念，它定义为 i² = -1。通过这个基本定义，可以推导出一系列与虚数i相关的运算公式。这些公式在复数运算、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用。本文将总结虚数i的主要运算公式，并以表格形式展示其规律性。

一、基本定义

- i² = -1

- i³ = i² × i = -i

- i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1

- i⁵ = i⁴ × i = 1 × i = i

可以看出，i的幂次是周期性的，每4次循环一次。

二、虚数i的幂次运算公式

由上表可知，i的幂次具有周期性，周期为4。因此，对于任意整数n，可以表示为：

$$

i^n = i^{n \mod 4}

$$

三、虚数i的加减乘除运算规则

1. 加法与减法

- $ a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i $

- $ a + bi - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $

2. 乘法

- $ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i $

3. 除法

- $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $

四、虚数i的共轭与模

1. 共轭复数

- 复数 $ z = a + bi $ 的共轭为 $ \overline{z} = a - bi $

2. 模（绝对值）

- $ z = \sqrt{a^2 + b^2} $

五、总结

虚数i的运算公式虽然基础，但却是复数理论的重要组成部分。掌握这些公式有助于理解更复杂的复数运算和应用。通过归纳和整理，我们可以清晰地看到i的幂次变化规律以及在加减乘除中的具体操作方式。

通过上述内容，我们可以系统地了解虚数i的运算规律，为后续学习复数相关知识打下坚实基础。