【向量积公式】在向量代数中，向量积（又称叉积或外积）是两个向量之间的一种运算方式，结果是一个与原向量垂直的新向量。向量积广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域，尤其在描述旋转、力矩和磁场等方面具有重要意义。

向量积的定义基于两个三维向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积 a × b 是一个新向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所构成的平行四边形面积。

向量积的基本公式

向量积的计算公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

其中：

- i, j, k 分别表示 x、y、z 轴方向的单位向量。

- 公式中的行列式展开即为向量积的分量形式。

向量积的性质总结

实例说明

假设 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k} = (-3)\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

$$

因此，$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$

小结

向量积是向量运算中一种重要的工具，不仅在数学上具有明确的几何意义，在实际应用中也极为广泛。掌握其基本公式和性质有助于更深入地理解空间向量之间的关系，并能有效应用于物理和工程问题中。